AM4 - Teoria dell'integrazione e analisi di Fourier

AA 2004-2005 - I Semestre (L. Chierchia)

Lezioni: Luigi Chierchia - Esercitazioni: Laura Di Gregorio

• Indice
  Avvisi
  Programma sintetico (sillabo)
  Programma esteso
  Orari
  Diario delle lezioni
  Testi aggiuntivi per le lezioni
  Esercitazioni
  Bibliografia
  Esami ed esoneri
  Sito di AM4 - a.a. 2003-2004

AVVISI

• [19/10/04] Le lezioni di AM4 di mercoledì 20 ottobre 2004 sono rinviate a data da destinarsi per permettere la partecipazione alle iniziative studentesche pianificate per tale giorno.
• [6/12/04] orario delle lezioni dal 17/12 (che include il recupero delle lezioni del 20/11 e dell'8/12):
  10/12, 14:00-16:00 (2 ore effettive)
  15/12, 11:00-13:00 (2 ore effettive)
  17/12, 14:00-16:00 (2 ore effettive)
  21/12, 11:00-12:30 (aula C)

• Diario delle lezioni
  Lezione 1 (20/9/04) Richiami sull'integrazione di Riemann: insiemi elementari, funzioni a scalini, integrale di Riemann, misura di Peano-Jordan; le funzioni integrabili secondo Riemann sono un'algebra ed un reticolo; l'integrale di Riemann è un funzionale lineare e positivo. Per definizione un insieme è di misura nulla se è possibile ricoprilo con una famiglia numerabile di cubi la somma delle cui misure sia arbitrariamente piccola. I vettori razionali sono un insieme di misura nulla.
  Lezioni 2 e 3 (22/9/04) L'unione numerabile di insiemi di misura nulla è di misura nulla. Un insieme è di misura nulla se e solo se è possibile ricoprilo con una famiglia numerabile di cubi aperti la somma delle cui misure sia arbitrariamente piccola. Un insieme misurabile secondo Peano-Jordan ha misura nulla se e solo se è di misura nulla.
  Lezioni 4 e 5 (24/9/04) Se Q è tale che per ogni a > 0 esiste un insieme elementare che lo contenga e di misura minore di a allora Q è di misura nulla; se Q è un compatto di misura nulla, per ogni a > 0 esiste un insieme elementare che contenga Q e di misura minore di a. Un insieme è di misura nulla se e solo se è possibile ricoprilo con una famiglia numerabile di rettangoli la somma delle cui misure sia arbitrariamente piccola. Esempi di insiemi aperti, densi non misurabili secondo Peano-Jordan.
  Lezioni 6 e 7 (29/9/04) Se Q è un compatto di misura nulla allora è misurabile secondo Peano-Jordan e la sua misura è 0. Se Q è misurabile secondo Peano-Jordan e la sua misura è 0 allora è un insieme di misura nulla. Oscillazione di una funzione su di un insieme e su un punto.
  Lezioni 8 e 9 (1/10/04) Il teorema di Vitali-Lebesgue.
  Lezioni 10 e 11 (6/10/04) L'insieme ternario di Cantor (costruzione geometrica e costruzione analitica); proprietà.
  Lezioni 12 e 13 (8/10/04) La funzione di Cantor.
  Lezioni 14 e 15 (13/10/04) Funzioni Hölderiane e Lipschitziane. L'immagine di un insieme di misura nulla secondo una mappa Lipschitziana (con codominio di dimensione non inferiore a quella del dominio) è di misura nulla.
  Lezioni 16 e 17 (15/10/04) La curva di Peano.
  Lezioni 18 e 19 (22/10/04) Richiami di algebra lineare (il teorema del determinante). La misura di un parallelepipedo generato da n vettori in Rⁿ coincide con il modulo del determinante della matrice con colonne formate dagli n vettori dati.
  Lezioni 20 e 21 (27/10/04) Fine della lezione 19 ed idea della dimostrazione del teorema del cambio di variabili.
  Lezioni 22 e 23 (29/10/04) Lemma geometrico sull'immagine di cubetti tramite diffeomorfismi. Fine della dimostrazione del teorema del cambio di variabili.
  Lezione 24 (8/11/04) Serie trigonometriche. Formalismo reale e complesso. Coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica.
  Lezioni 25 e 26 (10/11/04) Proprietà fondamentali dei coefficienti di Fourier. Lemma del Dini sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
  Lezioni 27 e 28 (17/11/04) Σ 1/n²= π ²/6. Covergenza di serie di Fourier di funzioni C^o_per∩C^k con k ≥1. Covergenza totale delle serie di Fourier di funzioni C^o_per e C¹ a tratti.
  Lezioni 29 e 30 (19/11/04) Uguaglianza di Parseval per funzioni C^o_per e C¹ a tratti. Equazioni differenziali alle derivate parziali: metodo di separazione di variabili. Esempi: equazione delle onde e del calore su un intervallo limitato.
  Lezione 31 (24/11/04) Separazione di variabili: l'equazione di Laplace su di un quadrato.
  Lezione 32 (24/11/04) Lemma sulla convergenza delle misure di insiemi decrescenti con intersezione di misura nulla; alcune conseguenze.
  Lezioni 33 e 34 (26/11/04) Definizione e buona posizione di integrale generalizzato. Esempi e controesempi.
  Lezioni 35 e 36 (1/12/04) Approssimazione di funzioni integrabili in senso generalizzato tramite funzioni integrabili secondo Riemann. Approssimazione di funzioni integrabili in senso generalizzato tramite funzioni C^∞ a supporto compatto. Lemma di Riemann-Lebesgue (i coefficienti di Fourier di una funzione integrabile tendono a zero al crescere dell'ordine).
  Lezioni 37 e 38 (3/12/04) Se E è misurabile secondo Peano-Jordan e f è limitata su E ed integrabile in senso generalizzato allora f è integrabile secondo Riemann.
  Gli spazi vettoriali R_q(E). Esempi e conotroesempi. Inclusioni nel caso E sia limitato.
  Definizione di trasformata di Fourier.
  Lezioni 39, 40 e 41 (10/12/04) Proprietà della trasformata di Fourier (uniforme continuità relazione tra regolarità e decadimento: trasformata della derivata e derivata della trasformata). Approssimanti di Riemann per l'integrale sulla retta reale.
  Lezioni 42, 43 e 44 (15/12/04) Teorema di inversione della trasformata di Fourier per funzioni C²(R) a supporto compatto e per funzioni C²(R) integrabili assieme alle prime due derivate. L'uguaglianza di Parseval per funzioni C² a supporto compatto.
  Lezioni 45, 46 (17/12/04) L'uguaglianza di Parseval per funzioni per funzioni C² integrabili assieme alle prime due derivate. Il lemma di Riemann Lebesgue per funzioni R₁(R).
  Lezioni 47, 48 (21/12/04) L'equazione di Laplace sul semipiano con dato al bordo integrabile. Equazione delle onde nel semipiano.

• Orario Lezioni / Esercitazioni (aula G):
  mercoledì 11:15-13:00 e venerdì: 14:15-16:00.
  lunedì: 14:15-15:00.

• Orario di ricevimento :
  Chierchia: lunedì, ore 12:00; venerdì, ore 16:00 - studio 210.
  Di Gregorio: martedì, ore 13:00-14:00 - studio 115 (102).

• Testi aggiuntivi per le lezioni
  L'insieme ternario di Cantor [dvi] [pdf] (versione del 6/10/04)
  La funzione di Cantor [dvi] [pdf] (versione dell'8/10/04)
  La curva di Peano [dvi] [pdf] (versione del 15/10/04)
  Il lemma di Sard [dvi] [pdf]
  Il teorema del cambio di variabili [dvi] [pdf]
  Un'estensione dell'integrale di Riemann [pdf]
  Trasformata di Fourier [pdf]

• Esercitazioni
  27/9/04: testo [dvi] [pdf]; soluzioni [dvi] [pdf]
  4/10/04: testo [dvi] [pdf]; soluzioni [dvi] [pdf]
  11/10/04: testo [dvi] [pdf]; soluzioni [dvi] [pdf]
  18/10/04: Il lemma di Sard [dvi] [pdf]
  25/10/04: testo [dvi] [pdf]; soluzioni [dvi] [pdf]
  12/11/04 (2 ore): testo [pdf]; soluzioni [pdf]
  15/11/04: testo [pdf]; soluzioni [pdf]
  22/11/04: testo [pdf]; soluzioni [pdf]
  29/11/04: testo [pdf]; soluzioni [pdf]
  6/12/04: testo [pdf]; soluzioni [pdf]
  13/12/04: testo [pdf]; soluzioni [pdf]

• Esoneri ed esami [ calendario esami]

  I esonero Mercoledì 3/11/04 - ore 15:00 - Aula F

  testo [pdf]; soluzioni [pdf]; Per vedere i compiti: il 10/11 o l'11/10, ore 14:30, studio 210.

  Gli studenti i cui voti sono contrassegnati con un asterisco sono convocati il 10/11 alle ore 14:00, studio 210.

  II esonero Lunedì 17/1/05 - ore 14:00 - Aula F

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: venerdì 21/1/05 ore 10:00, studio 210.

  Appello A e recupero esoneri Mercoledì 26/1/05 - ore 10:00 - Aula A

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: venerdì 28/1/05 ore 10:00, studio 210.

  Appello B Giovedì 17/2/05 - ore 9:30 - Aula A

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: giovedì 24/2/05 ore 14:00, studio 210.

  Appello C 14/7/05 - ore 10:00 - Aula A

  testo e soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: mercoledì 20/7/05 ore 10:00, studio 210.

  Appello X 7/9/05 - ore 10:00 - Aula G

  testo [pdf]; soluzioni [pdf];

  Per vedere i compiti e registrazione voto: venerdì 16/9/05 ore 12:00, studio 210.

• Bibliografia
  [C] Chierchia, L.: "Lezioni di Analisi Matematica 2", Aracne Edt, 1997
  [S] Spivak, M.: "Calculus on Manifolds", Benjamin, 1965
  [HS] Hewitt E., Stronberg K.: "Real and Abstract Analysis", Springer 1965
  [R] Rudin, W.: "Principi di analisi matematica", McGraw-Hill, Milano 1991
  [D-McK] Dym H. / McKean H.: "Fourier series and integrals", Academic Press, 1972
  [W] Weinberger, H.: "A first course in Partial Differential Equations", Xerox College Publ., 1965
  [GE1] Giusti, E.: "Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Vol. 1", Boringhieri Edt., 1991
  [GE2] Giusti, E.: "Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Vol. 2", Boringhieri Edt., 1992
  [D] Demidovich, B.P., "Esercizi e problemi di Analisi Matematica", Editori Riuniti, 1993

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: [email protected]