TN1 - Introduzione alla teoria dei numeri

A.A. 2004/2005 - II Semestre - Crediti 6,5.

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Informazioni Generali

Docenti Elena Colazingari Francesco Pappalardi
Ricevimento TBA Mercoled� e Gioved� 16-17
Studio209 209
Telefono 06 54888243 06 54888243
E-mailelena at mat.uniroma3.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORE Andrea Cova
Lezioni:
Luned� 16-18 (Aula 009 - TUTORARO)
Mercoled� 14-16 (Aula F)
Gioved� 14-16 (Aula 009)
Venerd� 11-13 (Aula F - settimane alterne)
DESCRIZIONE DEL CORSO

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Avvisi:

  • La prima lezione di esercitazione si � tenuta venerd� 4 Marzo
  • La prima lezione di tutorato si � tenuta luned� 7 Marzo
  • Il compito di met� semestre si � tenuto venerd� 15 Aprile alle ore 14.
  • La lezione di venerd� 29 Aprile � stata annullata. E' recuperata la prossima settimana venerd� 6 Maggio.
  • Il calendario degli esami � stato pubblicato.
  • L'esame finale si terr� il 1 Giugno alle 14:00 in Aula F
  • IMPORTANTE: La lezione del 25 Maggio alle 14:00 � annullata perch� nello stesso orario ci sono le lauree.
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    Esoneri/Esami:


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    Diario delle Lezioni:

    1. Mercoled� 23 Febbraio:
      (a) Informazioni generali sul corso, notazioni e propriet� fondamentali delle congruenze.
      (b) ancora propriet� delle congruenze, criteri per la divisibilit� sulle cifre, criterio di divisibilit� di Pascal.
    2. Gioved� 24 Febbraio:
      (a) Generalit� sulle equazione diofantee, congruenze polinomiali associate, esempi, congruenze lineari.
      (b) Ancora sulle congruenze lineari, Equazioni diofantee lineari a due incognite, esempi, sistemi ridotti di residui, l'indicatore di Eulero.
    3. Mercoled� 2 Marzo:
      (a) Equazioni diofantee lineari in pi� variabili, soluzione ricorsiva delle equazioni diofantee lineari, formula risolutiva per le equazioni lineari diofantee in 3 variabili.
      (b) Il piccolo Teorema di Fermat, pseudo primi e numeri di Carmichael, Teorema di Eulero.
    4. Gioved� 3 Marzo:
      (a) dimostrazione della formula per la soluzione di equazioni diofantee lineari in 3 variabili, applicazioni del Teorema di Eulero, formula esplicita di soluzione delle congruenze lineari, il Teorema di Wilson e sue applicazioni.
      (b) Il Teorema Cinese dei Resti (forma ristretta e forma generale), Esempi, radice quadrata di -1 modulo p, l'algoritmo dei quadrati successivi per calcolare ab(mod n).
    5. Venerd� 4 Marzo: ESERCITAZIONI(E)
      (a) 2.1 pag 16 - 2.3 pag 16 - 2.5 pag 21
      (b) 2.7 pag 22 - 2.6 (cenni) - 3.10 pag 38
    6. Mercoled� 9 Marzo:
      (a) Generalit� sulle congruenze polinomiali, riduzione al caso delle congruenze con modulo una potenza di un numero primo, derivate formali.
      (b) propriet� delle derivate formali, formula di Taylor per polinomi, enunciato del Teorema del sollevamento.
    7. Gioved� 10 Marzo:
      (a) Dimostrazione del Teorema del sollevamento, esempi.
      (b) Equivalenze di congruenze polinomiali, Teorema di Lagrange.
    8. Mercoled� 16 Marzo:
      (a) determinazione del numero di soluzioni di una congruenza modulo p, il polinomio xp-x modulo p, definizione dell'ordine di un intero modulo n
      (b) propriet� dell'ordine di un elemento, radici primitive, propriet� delle radici primitive, enunciato del Teorema di Gauss per l'esistenza delle radici primitive.
    9. Gioved� 17 Marzo:
      (a) Radici primitiva, il numero di radici primitive modulo n, il numero di elementi modulo p aventi ordine d.
      (b) L'algoritmo di Gauss per produrre una radice primitiva, esempio di applicazione dell'algoritmo di Gauss.
    10. Venerd� 18 Marzo: ESERCITAZIONI (E)
      (a) 3.11 pag. 39 - 4.1 pag 59 - 4.8 pag 60.
      (b) Determinare le soluzioni di:
      3x5+31x4+17x3+4x2+62x+9 � 0 ( mod 54) e
      x3-11x2+24x-14 � 0 ( mod 125)
    11. Mercoled� 23 Marzo:
      (a) Congruenze polinomiali del tipo Xm � a (mod p), riduzione a congruenze lineari, indici modulo numeri che ammettono radici primitive.
      (b) propriet� degli indici e dei moduli che ammettono radici primitive, letteratura sulle radici primitive (Congettura di Artin e di Gauss).
    12. Gioved� 24 Marzo:
      (a) residui qudratici e non residui quadratici.
      (b) definizione del simbolo di Legendre, criterio di Eulero per il calcolo del simbolo di Legendre.
    13. Mercoled� 30 Marzo:
      (a) soluzione del compito di met� semestre dell'AA 2003/04 (Problemi 1-8)
      (b) propriet� e esempi sui simboli di Legendre.
    14. Gioved� 31 Marzo:
      (a) Lemma di Gauss, applicazione al calcolo dei simboli di Legendre.
      (b) soluzione del compito di met� semestre dell'AA 2003/04 (Problemi 9-12)
    15. Mercoled� 6 Aprile:
      (a) Dimostrazione della reciprocit� quadratica, esempi, formula per (5/p).
      (b) Esercizi: 6.12, 6.5, 6.14, 6.19(1).
    16. Gioved� 7 Aprile: SOLUZIONE ESERCIZI
      (a) 5.1, 5.2, 6.4,
      (b) 6.17(a), esercizi vari tratti dagli esoneri.
    17. Venerd� 8 Aprile: ESERCITAZIONE ANNULLATA
    18. Mercoled� 20 Aprile:
      (a) Ultime questioni sulle congruenze quadratiche, numero di soluzioni modulo potenze di 2 e potenze di primi dispari, numero di soluzioni delle congruenze quadratiche con modulo generale.
      (b) La nozione di funzione aritmetica, funzioni aritmetiche moltiplicative, esempi delle funzioni aritmetiche classiche, j di Eulero , t (il numero di divisori), s (somma di divisori), sk (somma delle k-sime potenze dei divisori), e (immersione), ek, u e c (costante), numeri perfetti (esempi - numeri perfetti pari).
    19. Gioved� 21 Aprile:
      (a) Funsioni aritmetiche moltiplicative, moltiplicativit� di t, l'operatore sf, esempi.
      (b) Prodotto di Dirichlet di funzioni aritmetiche, la struttura di anello unitario commutativo nell'insieme delle funzioni moltiplicative, la funzione di Moebius e la sua moltiplicativit�.
    20. Mercoled� 27 Aprile:
      (a) Proprit� del prodotto di convoluzione, funzioni aritmetiche invertibili rispetto alla convoluzione.
      (b) Il gruppo delle funzioni moltiplicative. La legge di inversione di Moebius. Esempi.
    21. Gioved� 28 Aprile: ESERCITAZIONI:
      (a) Esercizi sulle funzioni aritmetiche: 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 1.10
      (b) 1.13, 1.15, 2.1, 2.3, 2.5, 3.2, 3.3, 3.4
    22. Mercoled� 4 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) Teorema di lagrange 1 (dei quattro quadrati): Teorema 84 pag. 69 Teorema 87 pag. 70
      (b) Teorema 369 pag 302 (Lagrange), Teorema 370 pag 302 (Lagrange per i primi) prima parte della dim.
    23. Gioved� 5 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) Fine dimostrazione Teorema 370 pag. 302. Teorema dei 3 quadrati (solo enunciato) Esempi: i) 15=3.5 non � somma di 3 quadtrati mentre 3 e 5 lo sono. ii) 47 come somma del minor numero di quadrati.
      (b) I quaternioni: ( cap. 20.6 pag 303 e seguenti): definizone, unit� immaginarie,somma e prodotto di quaternioni e prime propriet�
    24. Venerd� 6 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) I quaternioni: coniugato, norma, quaternioni interi, associato, unit�. Teorema 371 pag. 306 caso 1. Teorema 376 pag. 308 solo enunciato.
      (b) Teorema 378 pag. 309. Dimostrazione del Teorema di lagrange usando i qauternioni (pag. 310 all'inizio). Esempi: scrivere 247 e 308 come somma di 4 quadrati
    25. Mercoled� 11 Maggio:
      (a) Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive, positive e normali. Teorema di struttura per le terne pitagoriche. Esempi e applicazioni.
      (b) Cenni sull'ultimo Teorema di Fermat. Riduzione al caso Xp+Yp=Zp e X4+Y4=Z4. La congruenza X4+Y4=Z2.
    26. Gioved� 12 Maggio:
      (a) Dimostrazione che X4+Y4=Z2 non ammette soluzioni intere. La discesa di Fermat.
      (b) Esercizi: 1.1, 1.2 e 2.1. Generalit� sull'equazione X2+Y2=m. Il prodotto di insiemi che si scrivono come somma di quadrati si scrive come sooma di quadrati. Enunciato del Teorema: i primi congrui a 1 modulo 4 si scrivono come somma di due quadrati.
    27. Mercoled� 18 Maggio:
      (a) dimostrazione del teorema: i primi congrui a 1 modulo 4 sono somma di due primi. Lemma di Thue. Teorema di Eulero: I primi congrui a 1 modulo 4 si scrivono in modo unico come somma di due quadrati.
      (b) Dimostrazione del Teorema. Caratterizzazione dei numeri interi che si scrivono come somma di due quadrati. Esempi.
    28. Gioved� 19 Maggio:
      (a) Altre propriet� dei numeri che si scrivono come somma di due quadrati. Esercizi 3.1, 3.2 e 3.4.
      (b) Gli interi della forma 4s(8k+7) non si scrivono come somma di tre quadrati. Il problema di Waring e la funzione g(s). Propriet� di g(s). Esempi.
    29. Venerd� 20 Maggio: ESERCITAZIONI: (E)
      (a)
      1) scrivere come somma di 2 quadrati i numeri:
      8330, 1611090, 3036285, 12182625, 5s13t per s e t in N.
      2) scrivere 127 come somma del minor numero di quadrati
      (b)
      3) dimostrare che se r intero positivo, n=a2 con a=(32+1)(42+1)..((r+2)2+1),
      allora n � somma di 2 quadrati in almeno r modi diversi.
      4) elencare tutte le terne pitagoriche primitive positive (x,y,z) con x,y,z <85.
    30. Mercoled� 25 Maggio: LEZIONE ANNULLATA causa lauree
    31. Gioved� 26 Maggio: ESERCITAZIONI:
      (a) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
      (b) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
    32. Venerd� 27 Maggio: ESERCITAZIONI: (E)
      (a) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
      (b) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
    33. Mercoled� 1 Giugno: ESAME FINALE

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    TUTORATO:

    1. Esercizi proposti dal tutore il 7 Marzo 2005
    2. Esercizi proposti dal tutore il 14 Marzo 2005
    3. Esercizi proposti dal tutore il 21 Marzo 2005
    4. Esercizi proposti dal tutore il 4 Aprile 2005
    5. Esercizi proposti dal tutore il 2 Maggio 2005
    6. Esercizi proposti dal tutore il 9 Maggio 2005
    7. Esercizi proposti dal tutore il 16 Maggio 2005
    8. Esercizi proposti dal tutore il 23 Maggio 2005

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    Testi consigliati:


  • Note di Teoria dei Numeri di Marco Fontana
    Capitolo 0
    Capitolo 1
    Capitolo 2
    Capitolo 3
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
  • Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
  • Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
  • Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
  • Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7
  • Altre Dispense Online Online number theory lecture notes (Number Theory Web)