AM8 - Metodi locali in analisi funzionale non lineare

Sistemi Hamiltoniani e piccoli denominatori 

AA 2004-2005 II Semestre
(L. Chierchia)

• Indice
  Avvisi
  Programma sintetico (sillabo)
  Orari
  Diario delle lezioni
  Alcuni appunti
  Esami

Avvisi

[3/3/05] Si noti il cambiamento di orario .
[11/5/05] Le lezioni del 18 e 20 maggio sono rinviate.

Sillabo

1. Flussi hamiltoniani: diffeomorfismi simplettici; funzioni generatrici; sistemi integrabili (Arnold-Liouville) e variabili azione-angolo.
2. Il problema ristretto dei tre corpi: problema degli n-corpi e leggi di conservazione; integrabilità del problema dei due corpi; variabili di Delaunay e loro proprietà analitiche; il problema ristretto, circolare, piano.
3. Teorema di Kolmogorov ("KAM"): piccoli denominatori e vettori diofantini; formulazione del teorema di Kolmogorov; il caso iso-energetico; tecniche analitiche (disuguaglianze di Cauchy; teorema delle funzioni implicite nel caso analitico; stime per problemi lineari sul toro con piccoli denominatori); dimostrazione del teorema.
4. Applicazione del teorema di Kolmogorov al problema ristretto circolare piano dei 3 corpi e conseguenza fisiche.
5. (Tempo permettendo) Estensioni del teorema di Kolmogorov: interpolazione e misura dei tori persistenti; il caso C^k.

• Orario delle lezioni: mercoledì 16:00-17:30, venerdì 11:00-12:30. Aula 100 del Dipartimento di Matematica.

• Diario delle lezioni
  23/2/05 Equazioni differenziali per il problema degli N corpi. Equazioni differenziali per il problema dei 3 corpi ristretto. Enunciato del teorema di Kolmogorov-Arnold sull'esistenza di insiemi di misura positiva di traiettorie limitate per il problema ristretto circolare piano dei 3 corpi. Definizione di sistema hamiltoniano. Formulazione hamiltoniana del problema degli N corpi.
  25/2/05 Formulazione hamiltoniana del problema dei 3 corpi ristretto. Il gruppo delle matrici simplettiche; proprietà. Diffeomorfismi simplettici. Il flusso hamiltoniano è simplettico. I diffeomorfismi simplettici sono i diffeomorfismi che lasciano invariate le equazioni hamiltoniane.
  2/3/05 Parentesi di Poisson; proprietà fondamentali. Caratterizzazione della simpletticità tramite parentesi di Poisson. Funzioni generatrici del tipo g(P,q).
  4/3/05 Integrali del moto; esempi. Teorema di Noether e di Poisson. Teorema di Arnold-Liouville (enunciato). Sistemi completamente integrabili.
  9/3/05 Dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville per sistemi ad un grado di libertà.
  11/3/05 Costruzione delle variabili di azione ed angolo per sistemi ad un grado di libertà.
  16/3/05 Riduzioni delle equazioni del problema degli N corpi: si può assumere che la posizione del centro di massa coincida con l'origine (conservazione del momento lineare). Formulazione hamiltoniana; "sistema eliocentrico".
  18/3/05 Il Problema dei due corpi: conservazione dei momenti angolari singoli; il moto è piano; analisi qualitativa del moto; moti limitati: orbite ellittiche (enunciati).
  23/3/05 Il Problema dei due corpi (cont.): costruzione delle orbite ellittiche per energie negative; elementi orbitali.
  30/3/05 Il Problema dei due corpi (cont.): variabili di Delaunay.
  1/4/05 Hamiltoniana del problema dei tre corpi, ristretto, circolare, piano in variabili di Delaunay.
  6/4/05 Proprietà di analiticità della Hamiltoniana del problema dei tre corpi, ristretto, circolare, piano in variabili di Delaunay. Enunciato del Teorema di Kolmogorov (sulla persistenza di tori invarianti).
  13/4/05 Vettori Diofantini. Un problema modello integrazione di hamiltoniane lineari nelle azioni (Hamilton-Jacobi).
  20/4/05 Spazi di Banach di funzioni reali-analitiche. Stime di Cauchy. Stime con piccoli divisori.
  22/4/05 Diffeomorfismi del toro reali-analitici vicini all'identità (stime). Formula di Taylor. Metodo delle tangenti di Newton (idee generali).
  27/4/05 Schema di Kolmogorov: costruzione della funzione generatrice.
  29/4/05 Stime relative alla funzione generatrice ed alla trasformazione simplettica associata.
  4/5/05 Stime relative alla hamiltoniana trasformata.
  6/5/05 Iterazione e conclusione della dimostrazione del teorema di Kolmogorov.
  11/5/05 Il teorema di Kolmogorov nel caso iso-energetico (passo iterativo); condizione di non degenerazione iso-energetica.
  25/5/05 Interpretazione fisica del teorema di Kolmogorov nel caso del problema ristretto dei tre corpi.
  27/5/05 Schema di Arnold della dimostrazione del teorema di Kolmogorov.

• The restricted, circular, planar, threee-body problem 29/3/05
  (Formulazione Hamiltoniana, variabili di Delaunay)

• Esami [ calendario esami]

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: [email protected]